矩阵的秩

矩阵的秩（Rank）是线性代数中的一个基本概念，它反映了矩阵中线性无关的行或列的最大数目。通俗地说，秩告诉我们矩阵包含多少有效信息，或者矩阵能表示多大维度的线性空间。

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更具体地讲：

对于一个矩阵 A：

• 行秩（row rank）：矩阵中所有行向量中，线性无关的最大个数。
• 列秩（column rank）：矩阵中所有列向量中，线性无关的最大个数。

一个重要的定理是：

行秩等于列秩，我们通常就把这个共同的值称为“矩阵的秩”。

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举个简单的例子：

设有一个矩阵：

这个矩阵的三行其实是线性相关的：

• 第2行 = 第1行 × 2
• 第3行 = 第1行 × 3

所以实际上，这三行中只有1个是线性无关的，因此这个矩阵的秩是 1。

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求秩的方法：

常见的方法有：

• 行变换化为行最简形式（行阶梯形），数一数非零行数。
• 高斯消元法。
• 求所有子式的最大非零阶数（用于理论分析）。

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秩的意义：

• 如果一个的矩阵秩为，它就表示矩阵的行空间或列空间是一个维的线性空间。
• 在线性方程组中，矩阵的秩可以判断解的个数（唯一解、无解、无穷多解）。

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一、回顾矩阵：

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二、行列式法求秩的步骤：

1. 首先看整个矩阵的行列式是否为 0。
2. 如果为 0，就看它的所有子矩阵中是否有非零行列式。
3. 最大的非零子式的阶数就是秩。

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三、计算行列式（整个矩阵）

按第一行展开计算行列式：

我们一个个算子式：

代入：

✅ 所以整个矩阵的行列式是 0，说明秩 小于3

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四、尝试所有子式，看是否有非零

取左上角的：

换一个：

✅ 所以至少有一个非零的子式，说明秩至少是。

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五、结论：

• 最大非零子式阶数是→ 秩 =

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